Question

【題目】如圖，在中，，，以點為圓心、2為半徑畫圓，點是上任意一點，連接，.將繞點按順時針方向旋轉，交于點，連接

（1）當與相切時，

①求證：是的切線；

②求點到的距離.

（2）連接，，當的面積最大時，點到的距離為 .

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②點C到OB的距離是；（2）.

【解析】

（1）①先證明△BOC≌△AOD，則∠BCO=∠ADO=90°，BC是⊙O的切線；

②過點C作CE⊥OB，根據勾股定理得BC=2，由△BCO的面積公式可得OBCE=BCOC，求得CE=；

（2）當點C在⊙O上運動到△BCD是等腰三角形，且BO的延長線與CD垂直位置時，△BCD的面積最大（如圖2），由等腰直角三角形的性質可求得OF=，則點B到CD的距離為4+．

（1）①證明：∵AD與⊙O相切，∴∠ADO=90°．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOB－∠AOC=∠COD－∠AOC，即∠COB=∠AOD，

∵OB=OA，OC=OD，

∴△BOC≌△AOD．

∴∠BCO=∠ADO=90°．

∴BC是⊙O的切線．

②過點C作CE⊥OB，垂足為E，則CE即為點C到OB的距離．

在Rt△BOC中，∵OB=4，OC=2，

∴，

∴OBCE=BCOC，即4CE=2，CE=．

∴點C到OB的距離是．

（2）當點C在⊙O上運動到△BCD是等腰三角形，且BO的延長線與CD垂直位置時，

△BCD的面積最大（如圖2），此時OB=4，OC=OD=2，

∵△COD是等腰直角三角形，

∴OF＝OCsin45°＝2×＝，

∴BF＝4+．