Question

【題目】如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC．CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC．CD上滑動時，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）4+2

【解析】

試題分析：（1）連接AC，根據菱形的性質以及∠BAD=120°得出∠BAE=∠FAC以及△ABC和△ACD為正三角形，從而得出△ABE和△ACF全等，從而得出答案；（2）根據三角形全等得出△ABE的面積=△ACF的面積，從而得出四邊形AECF的面積=△ABC的面積，從而求出△ABC的面積得出四邊形的面積，根據垂線段最短得出當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短，從而求出最小值．

試題解析：（1）如圖，連接AC∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC

∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∴△ABC和△ACD為等邊三角形

∴∠ACF=60°，AC=AB ∴∠ABE=∠AFC ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴BE=CF

（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的周長發生變化．理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，則．∴，是定值

作AH⊥BC于H點，則BH=2，

．

△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．

故△AEF的周長會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，△CEF的周長會最小=4+，