Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=12cm，動點P從點A出發以1cm/s的速度沿AC勻速運動，動點Q同時從點B出發以同樣的速度沿CB的延長線方向勻速運動，當點P到達點C時，點P，Q同時停止運動.設運動時間為ts，過點P作PE⊥AB于點E，連接PQ交AB于點D.

⑴當t為何值時，△CPQ為直角三角形？

⑵求DE的長.

⑶取線段BC的中點M，連接PM，將△CPM沿直線PM翻折，得到△C，PM，連接AC，，當t= 時，AC，的值最小，最小值為 .

Answer 1

【答案】（1）4；（2）6；（3），

【解析】

（1）由△ABC是等邊三角形，可知∠C=60°，再由CQ=2CP列式即可求得t的值；

（2）過點Q作QF⊥AB交AB的延長線于F，易證△PEA≌△QFB(AAS)，則EF=AB=12cm，易證△PED≌△QFD(AAS)，DE=DF，即可求得DE=EF=6；

（3）分析可知，點的軌跡為如圖所示，過點P作PN⊥MN，當A，，M三點共線時，有最小值，再根據等邊三角形性質及直角三角形性質求解即可．

解：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C=60°，

∴當CQ=2CP時，∠CPQ=90°，

∴12+t=2(12-t)，

∴t=4，

∴t=4時，△CPQ是直角三角形．

(2)如圖，過點Q作QF⊥AB交AB的延長線于F，

∵PE⊥AB，

∴∠PEA=∠F=90°，

∵PA=QB，∠A=∠ABC=∠QBF=60°，

∴△PEA≌△QFB(AAS)，

∴AE=BF，

∴EF=AB=12cm，

∵∠PED=∠F=90°，∠PDE=∠QDF，PE=QF，

∴△PED≌△QFD(AAS)，

∴DE=DF，

∴DE=EF=6．

(3)分析可知，點的軌跡為如圖所示，過點P作PN⊥MN，

∴當A，，M三點共線時，有最小值，

∵△ABC為等邊三角形，M為BC中點，

∴AM⊥BC，∠ACM=60°，

∴，

∴,

又∵，

∴，

設，則，

∴，

又∵，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴，

∴

∴，

即當時，AC，的值最小，最小值為，

故答案為：，．