Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，E在正方形外，，過D作于H，直線DH，EC交于點M，直線CE交直線AD于點，則下列結論正確的是(　　)

①；②；③；④若PD=3AD，則MD=

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質，利用全等的判定和性質、相似的判定和性質、垂直平分線的判定性質、勾股定理等知識對四個結論一一判斷即可.

在正方形ABCD中，

AD=DC，

∵DE=DC，

∴AD=DE，

∴∠DAE=∠DEA，

∴①正確；

∵AD=DE，DH⊥AE，

∴DM是AE的垂直平分線，

∴AM=EM，

∴△AMD≌△EMD，

∴∠MAD＝∠MED，

∵DE=DC，

∴∠DCE＝∠MED，

∴∠MAD＝∠DCE，

即∠MAH+∠DAH=∠DME+∠CDM

∵∠DAH+∠ADH=90°，

∠CDM+∠ADH=90°，

∴∠DAH=∠CDM，

∴∠MAH=∠DME，

∵AM=EM,

∴∠MAH=∠MEH，

∴∠DME=∠MEH，

∵DH⊥AE，

∴∠DME=∠MEH=45°，

故②正確；

在EP上截取EN＝MC，則△DCM≌△DEN，

∴∠DNM=∠DME=45°，

∴△DMN是等腰直角三角形，

∴，

∵MN=ME+EN=AM+MC，

∴，

故③正確；

∵PD=3AD,AD=2,

∴PD=6,PA=8,

∵DM是AE的垂直平分線，

且∠DME=45°，

∴∠AMP=90°，

∴△PDC∽△PMA，

∴,

在Rt△PDC中， PC==2,

在Rt△PAM中，AM=,PM=,

∴CM=,

∵,

∴DM==.

故④錯誤.

故選C.