Question

【題目】已知：在中，，，點為上一動點，以為邊，在的右側作等邊．

（1）當平分時，如圖1，四邊形是________形；

（2）過作于，如圖2，求證：為的中點；

（3）若．

①當為的中點時，過點作于，如圖3，求的長；

②點從點運動到點，則點所經過路徑長為________（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）菱；（2）見解析；（3）①，②

【解析】

（1）根據角平分線的定義求出∠BAD＝∠DAC＝∠CAE＝30°，進而得到AE∥BC，AE＝AD＝DC，根據菱形的判定定理可得結論；

（2）求出，證明，可得，根據可得結論；

（3）①過作于，過點作于，連接，首先證明，然后求出DG和AD的長，再利用勾股定理求出EG即可；②判斷出點E的運動路徑為EF，根據可得答案．

解：（1）∵是等邊三角形，平分，

∴∠BAD＝∠DAC＝∠CAE＝30°，

∵，

∴AE∥BC，AD＝DC，

∵AE＝AD，

∴AE＝DC，

∴四邊形是平行四邊形，

∵AD＝DC，

∴四邊形是菱形；

（2）∵是等邊三角形，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，即為的中點；

（3）①過作于，過點作于，連接，

∵為的中點，，

∴，

∵，

∴，

在中，，，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

在中，；

②由（2）可知，，

∴當點D從點B運動到點C時，點D的運動路徑為BC，點E的運動路徑為EF，

∵，

∴點從點運動到點，則點所經過路徑長為．