Question

【題目】已知直線MN是線段BC的垂直平分線，垂足為O，P為射線OM上的一點，連接BP，PC．將線段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ（PQ與PC不重合），旋轉角為α（0°＜α＜180°）直線CQ交MN與點D．

（1）如圖1，當α＝30°，且點P與點O重合時，∠CDM的度數是　 　；

（2）如圖2，且點P與點O不重合．

①當α＝120°時，求∠CDM的度數；

②用含α的代數式表示∠CDM的度數．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）①∠CDM＝30°，②.

【解析】

（1）由中垂線的性質就可以得出BO=CO，由旋轉的性質可以出PQ=OB=PC，由三角形外角與內角的關系就可以得出∠C=15°，在△PDC中可以求出∠CDM的結論；

（2）①由軸對稱的性質可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四邊形的內角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，進而就可以得出∠CDM的值．

②由軸對稱的性質可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四邊形的內角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，進而就可以得出∠CDM=（180°-a）=90°-．

（1）∵直線MN是線段BC的垂直平分線，

∴BO＝CO，∠COD＝90°．

∵段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ

∴PB＝PC＝PQ．

∴∠Q＝∠C．

∵∠Q+∠C＝∠BPQ＝30°，

∴∠C＝15°，

∴∠C+∠CDM＝90°，

∴∠CDM＝75°；

（2）如圖2，

∵直線MN是線段BC的垂直平分線，

∴PB＝PC，BD＝CD．

∵段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ

∴PB＝PC＝PQ．

∴∠PQC＝PCQ．

在△PBD和△PCD中，

，

∴△PBD≌△PCD（SSS），

∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，

∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．

∵∠PQC+∠PQD＝180°，

∴∠PQD+∠PBD＝180°．

∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，

∴∠BPQ+∠BDC＝180°．

∵∠BPQ＝120°，

∴∠BDC＝60°．

∵∠PDB＝∠PDC，

∴∠PDC＝30°．

即∠CDM＝30°；

（3）∵直線MN是線段BC的垂直平分線，

∴PB＝PC，BD＝CD．

∵段PB繞點P逆時針旋轉，得到線段PQ

∴PB＝PC＝PQ．

∴∠PQC＝PCQ．

在△PBD和△PCD中，

，

∴△PBD≌△PCD（SSS），

∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，

∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．

∵∠PQC+∠PQD＝180°，

∴∠PQD+∠PBD＝180°．

∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，

∴∠BPQ+∠BDC＝180°．

∵∠BPQ＝a，

∴∠BDC＝180°﹣a．

∵∠PDB＝∠PDC，

∴∠PDC＝90°﹣，

即∠CDM＝90°﹣．