Question

【題目】如圖，點P為直徑BA延長線上一點，D為圓上一點，BH⊥PD于H，BD恰好平分∠PBH，BH交⊙O于C，連接CD，OD．

（1）求證：PD為⊙O的切線；

（2）若CD=2，∠ABD=30°，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）⊙O的直徑的長為4．

【解析】

（1）利用∠1=∠3，∠1=∠2，得到∠2=∠3，則可證明BH∥OD，利用平行線的性質(zhì)得到OD⊥PH，從而證得PD為⊙O的切線；

（2）連接OC，如圖，先證明△OCB為等邊三角形得到∠BOC=60°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠BOD=120°，所以∠DOC=60°，然后判定△OCD為等邊三角形，則OD=CD=2，從而得到⊙O的直徑的長．

（1）證明：∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BH∥OD，

∵BH⊥PH，

∴OD⊥PH，

∵D為圓上一點，

∴PD為⊙O的切線；

（2）解：連接OC，如圖，

∵∠1=30°，

∴∠2=∠3=30°，

∴∠OBC=60°，

∴△OCB為等邊三角形，

∴∠BOC=60°，

∵BC∥OD，

∴∠BOD=180°-∠OBC=120°，

∴∠DOC=60°，

而OC=OD，

∴△OCD為等邊三角形，

∴OD=CD=2，

∴⊙O的直徑的長為4．