Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．動點E，F同時分別從點A，B出發，分別沿著射線AC和射線BC的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接EF，以EF為直徑作⊙O交射線BC于點M，連接EM，設運動的時間為t（t＞0）．

（1）當點E在線段AC上時，用關于t的代數式表示CE＝　 　，CM＝　 　．（直接寫出結果）

（2）在整個運動過程中，當t為何值時，以點E、F、M為頂點的三角形與以點A、B、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】(1)8-t, ;(2) t的值為s或s．

【解析】

（1）當點E在線段AC上時，0＜t≤8．根據題意，可知AE=t，則CE=AC-AE=8-t，利用圓周角定理得∠EMF=90°．則可證得△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出CM；
（2）討論：當E點在線段AC上，（0＜t≤8），先由△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出，則FM=，①若∠EFM=∠B時，△MFE∽△ABC，利用相似比可求出t=0（舍去）；②若∠EFM=∠ACB時，△MEF∽△ABC，利用相似比可求得t=（s）；分情況進行討論即可；

解：（1）如圖1中，當點 E 在線段 AC 上時，0＜t≤8．根據題意，可知 AE＝t，則 CE＝AC﹣AE＝8﹣t．

∵EF 為直徑，

∴∠EMF＝90°．

∵∠ECM＝∠BCA，

∴△CEM∽△CBA，

∴，即，

∴，

故答案為：8﹣t，．

（2）∵△CEM∽△CBA，

∴，

即，

解得，

∴FM＝BC﹣BF﹣CM＝10﹣t﹣＝，

當E點在線段 AC 上，（0＜t≤8），

①如圖1中，若∠EFM＝∠B時，△MFE∽△ABC，

∴，

即，解得t＝0（舍去）．

②若∠EFM＝∠ACB時，△MEF∽△ABC，

∴

即，解得t＝（成立）．

當E點在線段AC的延長線上，8＜t≤10，如圖2中，

顯然EM＜CM≤FM，∴△MFE∽△ABC不成立，

只有△MFE∽△ACB，當點F運動到C點時，

∵∠EFM＝∠ACB，∠CME＝∠A，

∴△MEF∽△ABC，此時t＝10（成立）；

當t＞10時，由題意ME＝（t﹣8），FM＝BC+CM﹣BF＝10+（8﹣t）﹣t＝，

若△MFE∽△ABC，此時∠EFM＝∠B，則＝，即（8﹣t）：＝3：4，

解得t＝（成立），

若△MEF∽△ABC，此時∠EFM＝∠ACB，則＝，即（t﹣8）：＝3：4，

解得t＝10（舍棄），

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s．