Question

【題目】在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，連接AE．

（1）如圖1，點F為AE的中點，連接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的長；

（2）如圖2，過點E作AE的垂線交CD于點G，交AB的延長線于點H，點O為對角線AC的中點，連接GO并延長交AB于點M，求證：AM+BH＝BE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到BF，作FP⊥BC于點P，利用tan∠FBE＝求出PF，再利用勾股定理求出CF；

（2）先證明△AMO≌△CGO得到AM=GC，過G作GP垂直AB于點P，根據矩形的性質得到AB＝PG，再證明△ABE≌△GPH即可得到結論.

解：（1）Rt△ABE中，BF為中線，BF＝5，

∴AE＝10，FE＝5，

作FP⊥BC于點P，

Rt△BFP中，BF=5， ,

∴BP＝3，FP＝4，

在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，

由勾股定理求得，

∴CP＝8﹣3＝5，

∴；

（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，

∴△AMO≌△CGO（ASA），

∴AM＝GC，

過G作GP垂直AB于點P，得矩形BCGP，

∴CG＝PB，

∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，

∴△ABE≌△GPH（ASA），

∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．