Question

【題目】如圖1，把兩個全等的三角板ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角邊FG經過三角板ABC的直角頂點C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF均為4．現將三角板EFG由圖1所示的位置繞G點沿逆時針方向旋轉（0＜＜90°），如圖2，EG交AC于點K，GF交BC于點H．在旋轉過程中，請你解決以下問題：

（1）求證：△CGH∽△AGK；

（2）連接HK，求證：KH∥EF；

（3）設AK=x，△CKH的面積為y，求y關于x的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析;（3）y= , y最大值為.

【解析】試題分析：（1）GH：GK的值沒發生變化，根據已知條件證明△AGK∽△CGH，由相似三角形的性質可得： =，又因為在Rt△ACG中，tan∠A==，所以GH：GK的比值是一個的值；

（2）連接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH==，所以∠GKH=60°，再根據三角形的內角和證明，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，即可證得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等兩線平行即可證明KH∥EF；

（3）設AK=x，存在x=1，使△CKH的面積最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH=AK=x，根據三角形的面積公式表示出S△CHK=CKCH=（2-x）x，再把二次函數的解析式化為頂點式即可求出x的值．

試題解析：

（1）證明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B=30°，

∴∠GCH=∠GAK=60°.

又∠CGH=∠AGK= ，

∴△CGH∽△AGK.

（2）證明：連接HK，

由（1）得△CGH∽△AGK，

∴.

在Rt△ACG中，tanA==，

∴.

在Rt△KHG中，tan∠GKH=，

∴∠GKH=60°.

∵Rt△EFG中，∠F=30°，∴∠E=60°，

∴∠GKH=∠E，

∴KH∥EF.

（3）解：由（1）得△CGH∽△AGK，

∴

由（2）知，∴.

∴CH=AK= .

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AC=AB=2，

∴CK=AC-AK=2-x.

∴y=CK·CH= = .

又y=.

∴當x=1時，y有最大值為.

點睛: 本題考查的是相似三角形的判定與性質及圖形旋轉的性質、平行線的判定和性質、三角形的面積公式、二次函數的最值問題，題目的綜合性很強，難度中等．