Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,CD⊥AB，垂足為D，現將△ACD繞D點順時針旋轉得到△A‘C’D, 旋轉時間為t秒，△ACD繞D點旋轉的角速度/秒(每秒轉10度) ．

（1）旋轉時間t= 秒時，A‘C’∥AB;

（2）△ACD繞D點順時針旋轉一周（3600），斜邊AC掃過的面積為 ；

（3）如圖②，連接A’C、 C’B．

①若6＜t＜9，求證： 為定值；

②當t＞9時，上述結論還成立嗎？如成立直接寫出比值，不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6（2）（3）①證明見解析；②結論成立，比值仍為.

【解析】分析：（1）由旋轉的旋轉可得若要∥AB,可 ,即可求解；（2）由題意可知斜邊AC掃過的面積為以點D為圓心CD，AC邊上的高為半徑的環形，利用大圓面積減去小圓面積即可求解；（3）①當6＜t＜9時，知60°＜α＜90°，由△ ∽△和△ ∽△得到為定值 ；②用與①相同的方法即可得出結果.

本題解析：

（1）由∥AB,得，∴t=6.

（2）設AC邊上的高為h,由 .

（3）①當6＜t＜9時，知600＜＜900

如圖連接AA‘、C C’

由旋轉定義知

∠AD A‘=∠CD C’=∠

∵AD=A‘D、CD= C‘D

∴△ADA‘ ∽△C D C‘．

∴∠A‘A D =∠C‘CD ; ,

又∵∠CAD =∠BCD =60O

∴△ACA‘ ∽△C BC’

∴為定值.

②結論成立，比值仍為.