Question

【題目】三角形內角和定理告訴我們：三角形三個內角的和等于180°．如何證明這個定理呢？

我們知道，平角是180°，要證明這個定理就是把三角形的三個內角轉移到一個平角中去，請根據如下條件，證明定理．

（定理證明）

已知：△ABC（如圖①）．

求證：∠A+∠B+∠C=180°．

（定理推論）如圖②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，點D是BC延長線上一點，由平角的定義可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．從而得到三角形內角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．

（初步運用）如圖③，點D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點．

（1）若∠A=80°，∠DBC=150°，則∠ACB= ；

（2）若∠A=80°，則∠DBC+∠ECB= ．

（拓展延伸）如圖④，點D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點．

（1）若∠A=80°，∠P=150°，則∠DBP+∠ECP= ；

（2）分別作∠DBP和∠ECP的平分線，交于點O，如圖⑤，若∠O=50°，則∠A和∠P的數量關系為 ；

（3）分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN，如圖⑥，若∠A=∠P，求證：BM∥CN．

Answer 1

【答案】[定理證明]證明見解析；[定理推論] ∠A+∠ABC； [初步運用]（1）70°；（2）260°；[拓展延伸]（1）230°；（2）（2）∠P=∠A+100°.（3）證明見解析.

【解析】

[定理證明]

過點A作直線MN∥BC，根據平行線的性質和平角的定義可得結論；

[定理推論]

根據三角形的內角和定理和平角的定義可得結論；

[初步運用]

（1）根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式可得結論；

（2）根據三角形的內角和得：∠ABC+∠ACB=100°，由兩個平角的和可得結論；

[拓展延伸]

（1）連接AP，根據三角形內角和定理的推論可得等式，將兩個等式相加可得結論；

（2）如圖⑤，設∠DBO=x，∠OCE=y，則∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，綜合可得結論；

（3）如圖⑥，作輔助線，構建三角形PQC，根據（1）的結論得：∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，和角平分線的定義，證明∠MBP=∠PQC，可得結論．

[定理證明]

證明：過點A作直線MN∥BC，如圖所示，

∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，

∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°；

[定理推論]

∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

故答案為：∠A+∠ABC；

[初步運用]

（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，

∴∠ACB=∠DBC-∠A=150°-80°=70°，

故答案為：70°；

（2）∵∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=100°，

∴∠DBC+∠ECB=360°-100°=260°，

故答案為：260°；

[拓展延伸]

（1）如圖④，連接AP，

∵∠DBP=∠BAP+∠APB，∠ECP=∠CAP+∠APC，

∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC，

∵∠BAC=80°，∠P=150°，

∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=80°+130°=230°，

故答案為：230°；

（2）∠P=∠A+100°.

理由是：如圖⑤，設∠DBO=x，∠OCE=y，則∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，

由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，

2∠A+2∠O=∠A+∠P，

∵∠O=50°，

∴∠P=∠A+100°，

故答案為：∠P=∠A+100°；

（3）證明：延長BP交CN于點Q，

∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，

∴∠DBP=2∠MBP，∠ECP=2∠NCP，

∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，

∠A=∠BPC，

∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC，

∴∠BPC=∠MBP+∠NCP，

∵∠BPC=∠PQC+∠NCP，

∴∠MBP=∠PQC，

∴BM∥CN.