Question

【題目】下面是小明同學設計的“已知底邊及底邊上的中線作等腰三角形”的尺規作圖過程．

已知：如圖 1，線段 a 和線段 b．

求作：△ABC，使得 AB = AC，BC = a，BC 邊上的中線為 b．

作法：如圖 ，

① 作射線 BM，并在射線 BM 上截取 BC = a；

② 作線段 BC 的垂直平分線 PQ，PQ 交 BC 于 D；

③ 以 D 為圓心，b 為半徑作弧，交 PQ 于 A；

④ 連接 AB 和 AC．

則△ABC 為所求作的圖形．

根據上述作圖過程，回答問題：

（1）用直尺和圓規，補全圖 2 中的圖形；

（2）完成下面的證明：

證明：由作圖可知 BC = a，AD = b．

∵ PQ 為線段 BC 的垂直平分線，點 A 在 PQ 上，

∴ AB = AC（ ）（填依據）．

又∵線段 BC 的垂直平分線 PQ 交 BC 于 D，

∴ BD=CD．（ ）（填依據）．

∴ AD 為 BC 邊上的中線，且 AD = b．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）垂直平分線上的點到線段兩端距離相等；等腰三角形三線合一.

【解析】

（1）根據題意尺規作圖即可；

（2）根據垂直平分線的性質及等腰三角形的性質即可求解.

（1）如圖：△ABC為所求；

（2）證明：由作圖可知 BC = a，AD = b．

∵ PQ 為線段 BC 的垂直平分線，點 A 在 PQ 上，

∴ AB = AC（垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）．

又∵線段 BC 的垂直平分線 PQ 交 BC 于 D，

∴ BD=CD．（等腰三角形三線合一）

∴ AD 為 BC 邊上的中線，且 AD = b．

故填：垂直平分線上的點到線段兩端距離相等；等腰三角形三線合一.