Question

【題目】某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形．

乙同學：我發現邊數是時，它也不一定是正多邊形，如圖，是正三角形，，證明六邊形的各內角相等，但它未必是正六邊形．

丙同學：我能證明，邊數是時，它是正多邊形，我想…，邊數是時，它可能也是正多邊形．

請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等；

請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形（如圖）是正七邊形；（不必寫已知，求證）

根據以上探索過程，提出你的猜想．（不必證明）

Answer 1

【答案】圖中六邊形各角相等；見解析；猜想：當邊數是奇數時（或當邊數是，，，，時），各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形．

【解析】

(1)利用等弧對等角證各角相等.(2)利用等弧對等弦證各邊相等.(3)根據(1)(2)猜想當邊數是奇數時，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.

(1)證明：由圖知∠AFC對.
因為，∠DAF對的，
所以∠AFC=∠DAF.
因為，，
所以.
∠ECF對的，
所以∠AFC=∠ECF.
同理可證∠ADB=∠DBE=∠BEC=∠ECF.
所以圖(1)中六邊形各角相等.
(2)證明：因為∠A對，∠B對，∠A=∠B，
所以.
所以.
同理.
所以AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA.
所以，七邊形ABCDEFG是正七邊形.
(3)根據(1)(2)可以猜想：當邊數是奇數時(或當邊數為3，5，7，9，…時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形.