Question

（2009•邯鄲二模）如圖，矩形EFGH的邊EF=6cm，EH=3cm，在平行四邊形ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=

3

5

，點EFBC在同一直線上，且FB=1cm，矩形從F點開始以1cm/s的速度沿直線FC向右移動，當D點落在邊CF所在直線上即停止．
（1）在矩形運動過程中，何時矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點？
（2）在矩形運動過程中，當矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時，求出重疊面積S（cm²）與運動時間t（s）之間的函數關系式，并寫出時間t的范圍．是否存在某一時刻，使得重疊部分的面積S=16.5cm²？若存在，求出時間t，若不存在，說明理由．（3）若矩形運動的同時，點Q從點C出發沿C-D-A-B的路線，以0.5cm/s的速度運動，矩形停止時點Q也即停止運動，則點Q在進行一邊上運動的時間為多少s？

Answer 1

分析：（1）何時矩形的一邊恰好通過?ABCD的邊AB或CD的中點，題目本身就不明確，到底是GF還是HE，經過了AB的中點還是CD的中點，所以必須分情況討論，即①當GF邊通過AB邊的中點②當EH邊通過AB邊的中點③當GF邊通過CD邊的中點
（2）設當矩形運動到t（s）（7＜t＜11）時與平行四邊形的重疊部分為五邊形，則BE、AH都可用含有t的式子表示出來．在矩形EFGH中易證△AHP∽△BEP根據對應線段成比例，可求出EP的長，因此面積可表示出來．
（3）點Q在矩形一邊上運動的時間為多少s，這里的“一邊”是哪一邊，必須分情況進行解釋，所以也有三種情況．

解答：解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3，
①當GF邊通過AB邊的中點N時，
有BF=

1

2

BM=2，
∴t₁=3（s）．
②當EH邊通過AB邊的中點N時，
有BE=

1

2

BM=2，
∴BF=2+6=8，
∴t₂=8+1=9（s）．
③當GF邊通過CD邊的中點K時，
有CF=2，
∴t₃=1+10+2=13（s），
綜上，當t等于3s或9s或13s時，矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點．


（2）設當矩形運動到t（s）（7＜t＜11）時與平行四邊形的重疊部分為五邊形，
則BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t，
在矩形EFGH中，有AH∥BF，
∴△AHP∽△BEP，
∴

BE

HA

=

PE

PH

，
∴

11-t

t-7

=

EP

3-EP

，
∴EP=

3(11-t)

4

，
∴S=18-

1

2

(11-t)×

3(11-t)

4

，
=-

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜11），
由對稱性知當11＜t＜15時重疊部分仍為五邊形，
綜上S與t的函數關系式為：S=-

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11），
把s=16.5代入得：16.5=-

3

8

（t-11）²+18，
∴t₁=9，t₂=13，
即當t等于9s或13s時重疊部分的面積為16.5cm²．

（3）點Q從點C運動到點D所需的時間為：
5÷（

1

2

）=10（s），
此時，DG=1+14-10=5，
點Q從D點運動開始到與矩形相遇所需的時間為：

5

1+ 1 2

=

10

3

，
∴矩形從與點Q相遇到運動到停止所需的時間為：5-

10

3

=

5

3

，
從相遇到停止點Q運動的路程為：

1

2

×

5

3

=

5

6

，

5

6

+

5

3

=

5

2

＜6，
即點Q從相遇到停止一直在矩形的邊GH上運動，
∴點Q在矩形的一邊上運動的時間為：

5

3

s．

點評：此題主要考查了矩形的性質，此題在解答過程中，一定要注意分情況討論，另外還考查了二次函數的一些基本應用，考查比較全面，難易程度適中．