Question

【題目】如圖1，中，，分別是上的點，且滿足．

（1）求證：

（2）在圖1中，是否存在與AP相等的線段？若存在，請找出來，并加以證明；若不存在，說明理由．

（3）若將“為上的點”改為：“為DB延長線上的點”其他條件不變（如圖2）若，求線段之間的數量關系（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）存在，，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由已知可得四邊形ABCD是菱形，結合菱形的性質，由可得，即可求得；

（2）過點A作，交BD于點M，證得，得，即可得AP=AQ；

（3）過點A作，交BD的延長線于點M，作，可證，得，即，易證，即可得到．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，

∴四邊形ABCD是菱形，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

（2）存在，．

如圖，過點A作，交BD于點M，

∴∠APM=∠AMP，

由（1）知，，

∴∠APM=∠AQC，

∴∠AMP=∠AQC，

又∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AC，∠B=∠C，

∴，

∴，

即AP=AQ．

（3）過點A作，交BD的延長線于點M，作，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC∥BD，∠C+∠BDC=180°，∠ACD=∠ABM，

∵，

∴∠PAQ+∠BDC=180°，

∴∠APB+∠AQD=180°，

∴∠APB=∠AQC，

又∵AP=AM，

∴∠APB=∠AMP，

∴∠AQC=∠AMP，

∴，

∴，

，

在等腰△APM中，AH⊥PM，

∴，

，

即．