Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x軸、y軸上，反比例函數y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，連接OM、ON、MN．

（1）證明△OCN≌△OAM；

（2）若∠NOM=45°，MN=2，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）略（2）（0，）．

【解析】

試題分析：（1）由點M、N都在y=的圖象上，即可得出S△ONC=S△OAM=|k|，再由正方形的性質可得出OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，結合三角形的面積公式即可得出CN=AM，進而即可證出△OCN≌△OAM（SAS）；

（2）將△OAM繞點O逆時針旋轉90°，點M對應M′，點A對應A′，由旋轉和正方形的性質即可得出點A′與點C重合，以及N、C、M′共線，通過角的計算即可得出∠M'ON=∠MON=45°，結合OM′=OM、ON=ON即可證出△M'ON≌△MON（SAS），由此即可得出M′N=MN=2，再由（1）△OCN≌△OAM即可得出CN=AM，通過邊與邊之間的關系即可得出BM=BN，利用勾股定理即可得出BM=BN=，設OC=a，則M′N=2CN=2（a﹣），由此即可得出關于a的一元一次方程，解方程即可得出點C的坐標．

試題解析：（1）∵點M、N都在y=的圖象上，

∴S△ONC=S△OAM=|k|．

∵四邊形ABCO為正方形，

∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，

∴OCCN=OAAM．

∴CN=AM．

在△OCN和△OAM中，，

∴△OCN≌△OAM（SAS）．

（2）將△OAM繞點O逆時針旋轉90°，點M對應M′，點A對應A′，如圖所示．

∵OA=OC，

∴OA′與OC重合，點A′與點C重合．

∵∠OCM′+∠OCN=180°，

∴N、C、M′共線．

∵∠COA=90°，∠NOM=45°，

∴∠CON+∠MOA=45°．

∵△OAM旋轉得到△OCM′，

∴∠MOA=∠M′OC，

∴∠CON+∠COM'=45°，

∴∠M'ON=∠MON=45°．

在△M'ON與△MON中，，

∴△M'ON≌△MON（SAS），

∴MN=M'N=2．

∵△OCN≌△OAM，

∴CN=AM．

又∵BC=BA，

∴BN=BM．

又∠B=90°，

∴BN2+BM2=MN2，

∴BN=BM=．

設OC=a，則CN=AM=a﹣．

∵△OAM旋轉得到△OCM′，

∴AM=CM'=a﹣，

∴M'N=2，

又∵M'N=2，

∴2（）=2，

解得：，

∴C（0，）．