Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，DE與⊙O相切于點E，點C為DE延長線上一點，且CE=CB．

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）連結AE并延長，交BC的延長線于點G（如圖2所示），若AB=2，AD=2，求線段BC和EG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=；EG=．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，OC，即可證明△OEC≌△OEC，根據DE與⊙O相切于點E得到OEC=90°，從而證得∠OBC=90°，則BC是圓的切線．

（2）先求線段BC的長，過D作DF⊥BG于F，則四邊形ABFD是矩形，有DF=AB=2，在Rt△DCF中，由切線長定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE-2，利用勾股定理可求得CE的長；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根據平行線的內錯角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可證得CE=CG=CB，即可求得BG的長；在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易證△ADE∽△GCE，根據相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例關系，聯立AG的長，即可得到EG的值．

試題解析：（1）證明：連接OE，OC；

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC

∴△OEC≌△OBC（SSS）

∴∠OBC=∠OEC

又∵DE與⊙O相切于點E

∴∠OEC=90°

∴∠OBC=90°

∴BC為⊙O的切線．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，

∵AD，DC，BG分別切⊙O于點A，E，B

∴DA=DE，CE=CB，

設BC為x，則CF=x-2，DC=x+2，

在Rt△DFC中，（x+2）2-（x-2）2=（2）2，

解得：x=

∵AD∥BG，

∴∠DAE=∠EGC，

∵DA=DE，

∴∠DAE=∠AED；

∵∠AED=∠CEG，

∴∠EGC=∠CEG，

∴CG=CE=CB=，

∴BG=5，

∴AG=；

∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，

∴△ADE∽△GCE，

∴，

，

解得：EG=．