Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3．取BO的中點D，連接CD、MD和OC．

（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數的圖象經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使S△QAM= S△PDM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CM，

∵AO是直徑，M是圓心，

∴CM=OM，∠ACO=90°，

∴∠MOC=∠MCO．

∵D為OB的中點，

∴CD=OD，

∴∠DOC=∠DCO．

∵∠DOC+∠MOC=90°，

∴∠DCO+∠MCO=90°，

即∠MCD=90°，

∴CD是⊙M的切線

（2）解：方法一：

∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，

∴△ACO∽△AOB，

∴ ，

∴ ，

∴AB= ．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

BO= ，

∵D為OB的中點，

∴OD= OB= ，

∴D（0， ）．

∵OM=AM= OA= ，

∴M（ ，0）．設拋物線的解析式為y=a（x﹣ ）（x﹣5），由題意，得

=a（0﹣ ）（0﹣5），

解得：a= ，

∴拋物線的解析式為：y= （x﹣ ）（x﹣5），

= （x﹣ ）2﹣ ．

連接AD交對稱軸于P，設直線AD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得： ，

∴直線AD的解析式為：y=﹣ x+ ，

當x= 時，

y= ，

∴P（ ， ）；

方法二：

∵OA=5，AC=3，∠ACO=90°，

∴OC=4，tan∠CAO= ，

∴OB= ，

∵D為BO的中點，

∴D（0， ），M（ ，0），A（5，0），

∴設拋物線的解析式為：y=a（x﹣ ）（x﹣5），

把D（0， ）代入得a= ，

∴拋物線的解析式為：y= （x﹣ ）2﹣ ，

∵P為對稱軸上一點，

∴PM=PA，

∴△PDM的周長最小時，D，P，A三點共線，

∵D（0， ），A（5，0），

∴lAD：y=﹣ x+ ，

當x= 時，y= ，

∴P（ ， ）．

（3）解：存在．

∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM，

∴S△PDM= × × ﹣ × × ，

= ，

∴S△QAM= = ．

設Q的縱坐標為m，由題意，得

，

∴|m|= ，

∴m=± ，

當m= 時，

= （x﹣ ）2﹣ ．

x1= ，x2= ，

當m=﹣ 時，

﹣ = （x﹣ ）2﹣ ．

x= ．

∴Q（ ， ），（ ， ），（ ，﹣ ）．

【解析】本題是一道二次函數與幾何的綜合題.解答此題的關鍵是求出拋物線的解析式.
（1）連接CM，由題意易得CM=OM，從而得到∠MOC=∠MCO，由OA為直徑，根據圓周角的推論可得∠ACO=90°，易證CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可得∠DCO+∠MCO=90°，從而可得結論；
（2）根據已知條件可得△ACO∽△AOB求得AC：AO=AO：AB，從而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理求出OB的長，根據D是OB的中點可求得D的坐標，由待定系數法就可求得拋物線的解析式，從而求出其對稱軸，連接AD交對稱軸于P，先求出AD的解析式就可得點P的坐標；
（3）根據S△PDM=S△ADM-S△APM，可求得△PDM的面積，從而表示出△QAM面積的大小，設Q的縱坐標為m，根據三角形的面積可求出Q的橫坐標，即可得
【考點精析】掌握圓周角定理和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．