Question

【題目】探索：在圖1至圖2中，已知的面積為a

(1)如圖1，延長的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA;延長邊CA到點E，使CA=AE，連接DE;若的面積為，則= (用含a的代數式表示)；

(2)在圖1的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，FE，得到(如圖2).若陰影部分的面積為，則= (用a含的代數式表示)；

(3)發現:像上面那樣，將各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到(如圖2)，此時，我們稱向外擴展了一次.可以發現，擴展n次后得到的三角形的面積是面積的 倍(用含n的代數式表示);

(4)應用:某市準備在市民廣場一塊足夠大的空地上栽種牡丹花卉，工程人員進行了如下的圖案設計:首先在的空地上種紫色牡丹，然后將向外擴展二次(如圖3).在第一次擴展區域內種黃色牡丹，第二次擴展區域內種紫色牡丹，紫色牡丹花的種植成本為100元/平方米，黃色牡丹花的種植成本為95元/平方米.要使得種植費用不超過48700元，工程人員在設計時，三角形的面積至多為多少平方米?

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3） ；（4）的面積至多為10平方米.

【解析】

(1)連接AD，根據等底等高的三角形的面積相等求出△ADE的面積即可；

(2)根據等底等高的三角形的面積相等求出△ADE、△AEF、△AFD的面積，相加即可；

(3)由(2)得到△ABC向外擴展了一次得到的△DEF的面積S△DEF=7a，△ABC向外擴展了二次得到的△MGH的面積S△MGH=72a，找出規律即可；

(4)由(2)(3)的結論確定出種黃色牡丹，種紫色牡丹的面積，用總費用建立不等式，即可．

(1)如圖1，連接AD，

∵BC=CD，

∴S△ABC=S△DAC=a，

∵AE=AC，

∴S△DAE=S△DAC=S△ABC=a，

∴S1=S△CDE=S△DAE+S△DAC=2a，

故答案為：2a；

(2)如圖2，

由(1)有，S△CDE=2a，

同(1)的方法得到，

S△EAF=2a，

S△BDF=2a，

∴S2=S△CDE+S△EAF+S△BDF=6a，

故答案為：6a；

(3)由(2)有S2=6a，

∴S△DEF=S2+S△ABC=6a+a=7a，

∴△ABC向外擴展了一次得到的△DEF的面積S△DEF=7a，

∴△ABC向外擴展了二次得到的△MGH，可以看作是△DEF向外擴展了一次得到，

∴S△MGH=7S△DEF=7×7a=72a，

∴△ABC向外擴展了二次得到的△MGH的面積S△MGH=72a，

同理：△ABC向外擴展了n次得到的三角形的面積S=7na，

故答案為：7n；

(4)由(2)有，△ABC第一次擴展區域面積為S2=6a，

同理：△ABC第二次擴展區域可以看成是△DEF向外擴展了一次得到，

∴S3=6S△DEF=6×7a=42a，

∵在△ABC的空地上種紫色牡丹，第二次擴展區域內種紫色牡丹，

∴種紫色牡丹的面積為a+42a=43a，

∵在第一次擴展區域內種黃色牡丹，

∴種黃色牡丹的面積為6a，

∵紫色牡丹花的種植成本為100元/平方米，黃色牡丹花的種植成本為95元/平方米．要使得種植費用不超過48700元，

∴100×43a+95×6a≤48700，

∴a≤10，

∴工程人員在設計時，三角形ABC的面積至多為10平方米.