Question

已知正比例函數y=kx的圖象與反比例函數y=

5-k

x

（k為常數，k≠0）的圖象有一個交點的橫坐標是2．
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）求這兩個函數圖象的交點坐標；
（3）若點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是反比例函數y=

5-k

x

圖象上的兩點，且x₁＜x₂，試比較y₁與y₂的大小．

Answer 1

分析：（1）由兩函數圖象的一個交點橫坐標為2，將x=2代入正比例及反比例函數解析式，并令y相等得到關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出兩函數解析式；
（2）將兩函數解析式聯立組成方程組，求出方程組的解，即可得到兩交點的坐標；
（3）根據反比例函數圖象位于第一、三象限，分三種情況：當A和B都在第一象限時，根據反比例函數在第一象限為減函數，根據x₁＜x₂，判斷出y₁與y₂的大小；當A在第三象限，B在第一象限時，可得出A的縱坐標小于0，B的縱坐標大于0，比較出y₁與y₂的大小；當A和B都在第三象限時，根據反比例函數在第三象限為減函數，根據x₁＜x₂，判斷出y₁與y₂的大小．

解答：解：（1）∵一個交點的橫坐標為2，
∴將x=2代入正比例解析式得：y=2k，代入反比例解析式得：y=

5-k

2

，
消去y得：2k=

5-k

2

，解得：k=1，
則這兩個函數的解析式分別為y=x和y=

4

x

；
（2）將兩函數解析式聯立得：

y=x y= 4 x

，
解得：

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，
則兩個交點分別為（2，2）和（-2，-2）；
（3）當x₁＜x₂＜0時，y₁＞y₂；當x₁＜0＜x₂時，y₁＜y₂；當0＜x₁＜x₂時，y₁＞y₂．

點評：此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，以及反比例函數的圖象與性質，要求兩函數的交點，需要將兩函數解析式聯立組成方程組，求出方程組的解可得出交點坐標．