Question

如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3）．
（1）求正比例函數和反比例函數的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數的圖象交于點B（6，m），求m的值和這個一次函數的解析式；
（3）第（2）問中的一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，由正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3），即可求得解析式；
（2）由點B在反比例函數圖象上，即可求得m的值；又由此一次函數是正比例函數平移得到的，可知一次函數與反比例函數的比例系數相同，代入點B的坐標即可求得解析式；
（3）構造直角梯形AEFD，則通過求解△ABE、△BDF與直角梯形ADFE的面積即可求得△ABD的面積．

解答：解：（1）設正比例函數的解析式為y=ax，反比例函數的解析式為y=

b

x

，
∵正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3），
∴3=3a，3=

b

3

，
∴a=1，b=9，
∴正比例函數的解析式為y=x，反比例函數的解析式為y=

9

x

；

（2）∵點B在反比例函數上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B點的坐標為（6，

3

2

），
∵直線BD是直線OA平移后所得的直線，
∴可設直線BD的解析式為y=x+b，
∴

3

2

=6+b，
∴b=-

9

2

，
∴這個一次函數的解析式為y=x-

9

2

；

（3）過點B作EF∥y軸，過點A作AE∥x軸交EF于E，過點D作DF∥x軸交EF于F，
∴點E的坐標為（6，3），點F的坐標為（6，-

9

2

），
∵點D在直線BD上，
∴點D的坐標為（0，-

9

2

），
∴AE=3，EF=3+

9

2

=

15

2

，DF=6，BE=3-

3

2

=

3

2

，BF=

9

2

+

3

2

=6，
∴S_△ABD=S_梯形AEFD-S_△ABE-S_△BDF
=

1

2

（AE+DF）•EF-

1

2

AE•BE-

1

2

DF•EF
=

1

2

×（3+6）×

15

2

-

1

2

×3×

3

2

-

1

2

×6×6=

27

2

．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式與三角形面積的求解方法等知識．主要考查學生數形結合的數學思想方法．