Question

已知，如圖1，拋物線過點且對稱軸為直線點Ｂ為直線OA下方的拋物線上一動點，點B的橫坐標為m.

（1）求該拋物線的解析式：
（2）若的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．
（3）如圖2，過點B作直線軸，交線段OA于點C，在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使是以D為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點B的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；
（2）S，；
（3）存在，點B為或

試題分析：（1）根據拋物線過點且對稱軸為直線即可求得結果；
（2）過點B作軸，交于點，則可得直線為，則可設點，點即可表示出BH，再根據三角形的面積公式即可表示出S關于m的函數關系式，根據二次函數的性質即可求得最大值；
（3）設在拋物線的對稱軸上存在點D滿足題意，過點D作于點Q，則由(2)有點，點B，即可表示BC，由△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形可得，則可得且，再結合絕對值的性質分類討論即可.
（1）由題知：解之，得
該拋物線的解析式為：
（2）過點B作軸，交于點由題知直線為：
設點點



 
（3）設在拋物線的對稱軸上存在點D滿足題意，
過點D作于點Q，則由(2)有點，點B

是以D為直角頂點的等腰直角三角形
即是：且
若解之：（舍去），
時，

若解之：（舍去）
當時,

綜上，滿足條件的點B為或.
點評：本題是一道綜合性的題目，主要考查了學生對二次函數的綜合應用能力，是中考壓軸題，難度較大．