Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上，且OA、OC（）的長是方程的兩個根．

（1）如圖，求點A的坐標；

（2）如圖，將矩形OABC沿某條直線折疊，使點A與點C重合，折痕交CB于點D，交OA于點E．求直線DE的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P在直線DE上，在直線AC上是否存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請求出點Q坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（2）；（3）存在點或或，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.

【解析】

（1）通過解一元二次方程可求出OA的長，結合點A在x軸正半軸可得出點A的坐標；

（2）連接CE，設OE=m，則AE=CE=8-m，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求出m的值，進而可得出點E的坐標，同理可得出點D的坐標，根據點D，E的坐標，利用待定系數法可求出直線DE的解析式；

（3）根據點A，C的坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式，設點P的坐標為（a，2a-6），點Q的坐標為（c，-c+4），分AB為邊和AB為對角線兩種情況考慮：①當AB為邊時，利用平行四邊形的性質可得出關于a，c的二元一次方程組，解之可得出c值，再將其代入點Q的坐標中即可得出結論；②當AB為對角線時，利用平行四邊形的對角線互相平分，可得出關于a，c的二元一次方程組，解之可得出c值，再將其代入點Q的坐標中即可得出結論．綜上，此題得解．

（1）解方程x2-12x+32=0，得：x1=4，x2=8．

∵OA、OC的長是方程x2-12x+32=0的兩個根，且OA＞OC，點A在x軸正半軸上，

∴點A的坐標為（8，0）．

（2）連接CE，如圖4所示．

由（1）可得：點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（8，4）．

設OE=m，則AE=CE=8-m．

在Rt△OCE中，∠COE=90°，OC=4，OE=m，

∴CE2=OC2+OE2，即（8-m）2=42+m2，

解得：m=3，

∴OE=3，

∴點E的坐標為（3，0）．

同理，可求出BD=3，

∴點D的坐標為（5，4）．

設直線DE解析式為：

∴

∴直線DE解析式為：

（3）∵點A的坐標為（8，0），點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（8，4），

∴直線AC的解析式為y=-x+4，AB=4．

設點P的坐標為（a，2a-6），點Q的坐標為（c，-c+4）．

分兩種情況考慮，如圖5所示：

①當AB為邊時， ，

解得：c1=，c2=，

∴點Q1的坐標為（，），點Q2的坐標為（，）；

②當AB為對角線時，，

解得： ，

∴點Q3的坐標為（，- ）．

綜上，存在點或或，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形