Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，BD=2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結論：①BE⊥AC；②EG=GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由平行四邊形的性質可得OB=BC，由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性質和三角形中位線定理可判斷②錯誤，通過證四邊形BGFE是平行四邊形，可判斷③正確，由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確，由∠BAC≠30°可判斷⑤錯誤．

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，

又∵BD=2AD，

∴OB=BC=OD=DA，且點E 是OC中點，

∴BE⊥AC，

故①正確，

∵E、F分別是OC、OD的中點，

∴EF∥CD，EF=CD，

∵點G是Rt△ABE斜邊AB上的中點，

∴GE=AB=AG=BG

∴EG=EF=AG=BG，無法證明GE=GF，

故②錯誤，

∵BG=EF，AB∥CD∥EF

∴四邊形BGFE是平行四邊形，

∴GF=BE，且BG=EF，GE=GE，

∴△BGE≌△FEG（SSS）

故③正確

∵EF∥CD∥AB，

∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，

∵AG=GE，

∴∠GAE=∠AEG，

∴∠AEG=∠AEF，

∴AE平分∠GEF，

故④正確，

若四邊形BEFG是菱形

∴BE=BG=AB，

∴∠BAC=30°

與題意不符合

故⑤錯誤

故選B．