Question

（2010•藁城市一模）在圖1和圖2中，△ABC和△DEC都是等邊三角形，F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．
（1）如圖1，點D、E分別在AC、BC的延長線上，求證：△FGH是等邊三角形．
（2）將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，△FGH還是等邊三角形嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據等邊三角形的性質可得DE=EC=CD，AC=CB=AB，進而得到AC+CD=CB+EC=ED+AB，再利用三角形的中位線定理和梯形的中位線定理可證出HG=HF=FG，進而可證出結論；
（2）根據題目條件得出△ACD≌△BCE，進而得出四邊形HFGM是含60°角的菱形，即可得出△HFG是有一個60°角的等腰三角形，則△HFG是等邊三角形．

解答：（1）證明：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴DE=EC=CD，AC=CB=AB，
∴AC+CD=CB+EC=ED+AB，
∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，
∴FG=

1

2

EB，HF=

1

2

AD，HG=

1

2

（DE+AB），
∴HG=HF=FG，
∴△HFG是等邊三角形；

（2）證明：連接AD，BE并取AB中點M，連MH，MG
∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴∠ACD=60°+∠BCD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

EC=DC ∠ECB=∠DCA BC=AC

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴∠CEB=∠CDA
∴AD，BE相交成60°（有一對對頂角的三角形）
∵F，G分別是△BDE，DE，DB上的中點，
∴FG是中位線≥FG

∥

.

1

2

BE，
同理  FH

∥

.

1

2

AD；  MG

∥

.

1

2

BE；  MG

∥

.

1

2

AD
∴FG=FH=MH=MG
∵AD，BE相交成60°
∴∠HFG=60°
∴四邊形HFGM是含60°角的菱形
∴△HFG是有一個60°角的等腰三角形
∴△HFG是等邊三角形．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質與判定，關鍵是熟練掌握三角形與梯形的中位線定理．