Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內一點，且滿足PA=3，PB=1，PC=2，則∠BPC的度數為___________．

Answer 1

【答案】135°

【解析】

過點C作CD⊥CP，使CD=CP=2，連接CD，PD，AD，根據AC=BC，由同角的余角相等得到夾角相等，利用SAS的三角形ACD與三角形CBP全等，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到AD=BP=1，∠ADC=∠BPC，在直角三角形DCP中，利用勾股定理求出DP的長，由AD以及AP的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP為直角三角形，由∠4+∠5求出∠ADC度數，即為∠BPC度數．

過點C作CD⊥CP，使CD=CP=2，連接CD，PD，AD，

∵∠1+∠2=∠ACB=90°=∠DCP=∠3+∠2，
∴∠1=∠3，
在△CAD和△CBP中，

∴△CAD≌△CBP（SAS），

∴DA=PB=1，∠ADC=∠BPC，
在等腰Rt△DCP中，∠4=45°，
根據勾股定理得：DP2=CD2+CP2=22+22=8，
∵DP2+DA2=8+1=9，AP2=32=9，
∴DP2+DA2=AP2，
∴△ADP為直角三角形，即∠5=90°，
則∠BPC=∠ADC=∠4+∠5=45°+90°=135°．