Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M，點P為線段FG上一個動點（與F、G不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點Q．

（1）求經過B、E、C三點的拋物線的解析式；

（2）判斷△BDC的形狀，并給出證明；當P在什么位置時，以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，并求出此時點P的坐標；

（3）若拋物線的頂點為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）△BDC是直角三角形，證明見解析；△POC是等腰三角形時，點P坐標是（﹣1+，1+）或（2，4）；（3）①不能成為菱形，理由見解析；②能成為等腰梯形，點P的坐標是（2.5，4.5）．

【解析】

(1)利用待定系數法列方程組求二次函數的解析式.(2)利用勾股定理的逆定理，判斷直角三角形.(3)分別設出P，Q點坐標，按照菱形的條件，等腰梯形的條件，分別求P點坐標，判斷是否存在.

（1）B（﹣1，0）E（0，4）C（4，0）設解析式是y=ax2+bx+c，

可得,

解得,

∴y=﹣x2+3x+4；

（2）△BDC是直角三角形，

∵BD2=BO2+DO2=5，DC2=DO2+CO2=20，BC2=（BO+CO）2=25

∴BD2+DC2=BC2，

∴△BDC是直角三角形．

點A坐標是（﹣2，0），點D坐標是（0，2），

設直線AD的解析式是y=kx+b，則,

解得：,

則直線AD的解析式是y=x+2，

設點P坐標是（x，x+2）

當OP=OC時x2+（x+2）2=16，

解得：x=﹣1±（x=﹣1-（不符合，舍去）此時點P（﹣1+，1+）

當PC=OC時（x+2）2+（4﹣x）2=16，方程無解；

當PO=PC時，點P在OC的中垂線上，

∴點P橫坐標是2，得點P坐標是（2，4）；

∴當△POC是等腰三角形時，點P坐標是（﹣1+，1+）或（2，4）；

（3）點M坐標是（,），點N坐標是（,），∴MN=，

設點P為（x，x+2），Q（x，﹣x2+3x+4），則PQ=﹣x2+2x+2

①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5

當x2=1.5時，點P與點M重合；當x1=0.5時，可求得PM=所以菱形不存在．

②能成為等腰梯形，作QH⊥MN于點H，作PJ⊥MN于點J，則NH=MJ，

則﹣（﹣x2+3x+4）=x+2﹣，

解得：x=2.5，

此時點P的坐標是（2.5，4.5）．