Question

【題目】如圖，已知在中，，，，點、分別在邊、射線上，且，過點作，垂足為點，聯結，以、為鄰邊作平行四邊形，設，平行四邊形的面積為．

（1）當平行四邊形為矩形時，求的正切值；

（2）當點在內，求關于的函數解析式，并寫出它的定義域；

（3）當過點且平行于的直線經過平行四邊形一邊的中點時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），．

【解析】

（1）當四邊形PQMN是矩形時，PQ∥AB．根據tan∠PQM＝求解即可．

（2）如圖1中，延長QN交AB于K．求出MK，PM，根據y＝PMMK求解即可．

（3）分兩種情形：①如圖31中，當平分MN時，D為MN的中點，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長線于H，EG⊥BC于G．根據EG＝PC構建方程求解．②如圖32中，當平分NQ時，D是NQ的中點，作DH⊥CB交CB的延長線于H．根據PC＝GH構建方程求解即可．

（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

當四邊形PQMN是矩形時，PQ∥AB．

∴tan∠PQM＝＝．

（2）如圖1中，延長QN交AB于K．

∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10

∴sinA=cosB==,cosA=sinB=，

由，得BQ＝6x，QN＝PM＝APsinA=x，AM＝APcosA=x，KQ＝BQsinB=BQ＝，BK＝BQcosB=BQ＝，

∴MK＝ABAMBK＝，

∵QN＜QK，

∴x＜，

∴x＜，

∴y＝PMMK＝x×=（0≤x＜）．

（3）①如圖31中，當平分MN時，D為MN的中點，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長線于H，EG⊥BC于G．

∵PD∥BC，EN∥BC，

∴PD∥NE，

∵PE∥DN，

∴四邊形PDNE是平行四邊形，

∴PE＝DN，

∵DN＝DM，PQ＝MN，

∴PE＝EQ，

∵EG∥PC，

∴CG＝GQ，

∴EG＝PC，

∵四邊形EGHN是矩形，

∵

∴QN⊥AB

則∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°

∴∠ABC=∠QNH

∴NH＝EG＝NQcos∠QNH= NQcos∠ABC =NQ＝PM＝×x =x，PC＝8x，

∴x＝（8x），

解得x＝．

②如圖32中，當平分NQ時，D是NQ的中點，作DH⊥CB交CB的延長線于H．

∵DH＝PC，

∴8x＝x，

解得x＝，

綜上所述，滿足條件x的值為或．