Question

【題目】如圖，在中，，對角線，點E是線段BC上的動點，連接DE，過點D作DP⊥DE，在射線DP上取點F，使得，連接CF,則周長的最小值為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

過D作DG⊥BC于點G，過F作FH⊥DG于點H，利用tan∠DBC=和BD=10可求出DG和BG的長，然后求出CD的長，可知△DCF周長最小，即CF+DF最小，利用“一線三垂直”得到△HDF∽△GED，然后根據對應邊成比例推出FH=2GD，可知F在DG右側距離2DG的直線上，作C點關于直線的對稱點C'，連接DC'，DC'的長即為CF+DF的最小值，利用勾股定理求出DC'，則CD+DC'的長即為周長最小值.

如圖，過D作DG⊥BC于點G，過F作FH⊥DG于點H，

∵tan∠DBC=，BD=10，設DG=x，BG=2x

∴，解得

∴DG=，BG=

∴GC=BC-BG=

∴CD=

△DCF周長最小，即CF+DF最小

∵∠FDE=90°

∴∠HDF+∠GDE=90°

∵∠GED+∠GDE=90°

∴∠HDF=∠GED

又∵∠DHF=∠EGD=90°

∴△HDF∽△GED

∴

∴FH=2GD=

即F在DG右側距離的直線上運動，如圖所示，

作C點關于直線的對稱點C'，連接DC'，DC'的長即為CF+DF的最小值

∵DG⊥BC，FH⊥DG，FO⊥CC'

∴四邊形HFOG為矩形，

∴OG=HF=

又∵GC=

∴OC=OC'=

∴GC'=

在Rt△DGC'中，DC'=

∴△DCF周長的最小值=CD+DC'=

故答案為：.