Question

【題目】已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，CD=BC，DE⊥CE，DE=CE，連接AE，點M是AE的中點.

（1）如圖1，若點D在BC邊上，連接CM，當AB=4時，求CM的長；

（2）如圖2，若點D在△ABC的內部，連接BD，點N是BD中點，連接MN，NE，求證MN⊥AE；

（3）如圖3，將圖2中的△CDE繞點C逆時針旋轉，使∠BCD=30°，連接BD，點N是BD中點，連接MN，探索的值并直接寫出結果

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形ABC得出BC的長度，然后根據等腰直角三角形DCE得出CE的長度，然后根據Rt△ACE的勾股定理得出AE的長度，從而根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案；（2）延長EN到NF，使NE=NF，再連接BF，AF，然后證明△ABF≌△ACE，從而得出∠FAE=∠BAC=90°，然后根據平行線的性質得出答案；（3）根據第二題同樣的方法得出MN=AF，AF=AE，從而得出答案.

試題解析：（1）∵AB=AC=4 ∠BAC=90° ∴BC=4 則CD=2 ∴CE=2，

根據Rt△ACE的勾股定理可得：AE= ∴CM=

（2）如圖，延長EN到NF，使NE=NF，再連接BF，AF，

可得BF=DE=CE，∠FBN=∠NDE， 則∠ACE=90°-∠DCB

∠ABF=∠BDE-∠ABN=∠180°-∠DBC-∠DCB-∠EDC-∠ABN=180°-（∠DBC+∠ABN）-45°-∠DCB=90°-∠DCB

所以∠ACE=∠ABF，所以△ABF≌△ACE， 所以∠FAB=∠EAC， 所以∠FAE=∠BAC=90°，

因為MN//AF，所以MN⊥AE。

（3）同（2）可得MN=AF，AF=AE，

又AC=2CE，∠ACE=120°，可求得AE=， 所以