Question

【題目】如圖，在△ABC中，OA=8，OB=6，C點與A點關于直線OB對稱，動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A．C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．

（1）當OP=_______時，△APQ≌△CBP，說明理由；

（2）當△PQB為等腰三角形時，求OP的長度．

Answer 1

【答案】（1）2，理由見解析；（2）OP2或．

【解析】

（1）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據點的坐標求出AP=BC，根據全等三角形的判定推出即可．
（2）分為三種情況：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根據（2）即可推出①，根據三角形外角性質即可判斷②，根據勾股定理得出方程，即可求出③．

解：（1）當OP=2時，△APQ≌△CBP．

理由如下：

∵OA=8，OB=6，C點與A點關于直線OB對稱，

∴，

∵OA=8，OP=2，

∴AP=BC=10

∵C點與A點關于直線OB對稱，

∴∠BAO=∠BCO

∵∠BPQ=∠BAO，

∴∠BPQ=∠BCO

∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP，

∴∠APQ=∠CBP

在△APQ和△CBP中

，

∴△APQ≌△CBP（ASA）

（2）分為3種情況：

①當PB=PQ時，

由（1）得：△APQ≌△CBP時，PB=PQ此時OP=2；

②當BQ=BP時，

∠BPQ=∠BQP

∵∠BPQ=∠BAO，

∴∠BAO=∠BQP

根據三角形外角性質得：∠BQP＞∠BAO，

∴這種情況不存在；

③當QB=QP時，

∠QBP=∠BPQ=∠BAO，

∴PB=PA，

設OP=x，則PB=PA=x+8

在Rt△OBP中，PB2=OP2+OB2，

∴（8+x）2=x2+62

解得：x；

∵點P在AC上，

∴點P在點O左邊，

此時OP；

∴當△PQB為等腰三角形時，OP2或；