Question

【題目】如圖1，內接于，點為中點，點在上，連接點是的中點，連結．

（1）求證：；

（2）如圖2，若平分與交于點延長，與的延長線交于點求證：；

（3）在（2）的條件下，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）面積為.

【解析】

（1）先根據(jù)圓周角定理的推論得出點O與M重合，然后利用等腰三角形的性質得出，即；

（2）首先證明，即可得出；

（3）首先利用三角形的中位線的性質得出，然后根據(jù)角平分線的定義得出進而有，然后證明，則有，然后通過證明得出，則，然后設， 在中，利用勾股定理求出x的值，從而可求出AB的長度，則圓的半徑可求，最后利用圓的面積公式即可求解．

證明:如圖1中，連接，

，點為中點，

是的直徑，點與重合．

∵點是的中點，

．

，

，

即；

證明:如圖2，

∵AB是直徑，

，

．

在和中，

，

；

解:過點作于，

是的直徑，

，

．

∵，

，

，

∴．

又∵AD平分，

，

，

．

，

，

，

．

在和中，

，

，

，

．

設，則，

．

在中，

，

，

，

解得或(舍去)，

，

，

面積．