Question

【題目】如圖，已知直線與⊙相離．于點，交⊙于點，，與⊙相切于點，的延長線交直線于點．

（1）求證：；

（2）若，求⊙的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是3．

【解析】

（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA＝∠OAC＝90°，推出∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠CPA＝90°，求出∠ACP＝∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；
（2）設圓半徑為r，則OP＝OB＝r，PA＝5r，根據AB＝AC推出，求出r即可．

⑴證明： 連接OB，

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA =∠OAC=90°，

∴∠OBP +∠ABP =90°，∠ACP +∠CPA =90°，

∵OP =OB， ∴∠OBP =∠OP B．

∵∠OPB =∠APC， ∴∠ACP =∠ABC，

∴AB =AC．

（2）如上圖，設圓半徑為，則由得，．

又∵，∴，

∵由（1）知，∴，

解得：，

即⊙O的半徑是3．