Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、C，與AB交于點D．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ＝CP，連接PQ，設CP＝m，△CPQ的面積為S．

①求S關于m的函數表達式；

②當S最大時，在拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；（2）①S＝﹣m2+3m；②滿足條件的點F共有四個，坐標分別為F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

【解析】

（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y＝x2＋bx＋c，即可求得拋物線的解析式；

（2）①先用m表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數；

②先求出m=5時S取最大值，再根據△DFQ為直角三角形分情況求出F的坐標．

（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+8；

（2）①∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝＝10，

過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB＝＝＝，

∴＝，

∴QE＝（10﹣m），

∴S＝CPQE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；

②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，

∴當m＝5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+8的對稱軸為x＝，

∴D的坐標為（3，8），

∵CP=AQ=5，

∴CQ=5

過Q點作QG⊥x軸，

∴sin∠ACO==

即

∴QG=4

∴CG=

∴OG=CO-CG=3

∴Q（3，4），

設F（，n），

當∠FDQ＝90°時，則F在直線AB上，

∴F1（，8），

當∠FQD＝90°時，則F的縱坐標與Q點縱坐標相同，

∴F2（，4），

當∠DFQ＝90°時，設F（，n），

則FD2+FQ2＝DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，

解得：n＝6±，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

滿足條件的點F共有四個，坐標分別為F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．