Question

【題目】如圖，拋物線y＝a( x＋1 )2－4a（a＜0）與x軸交于點A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，連接BD交拋物線的對稱軸于點E，連接BC、CE．

（1）拋物線頂點坐標為 （用含a的代數(shù)式表示），A點坐標為 ，

（2）當△DCE的面積為時，求a的值；

（3）當△BCE為直角三角形時，求拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）（-1，-4a），(-3,0)（2）-（3）y＝-( x＋1 )2+4或y＝－( x＋1 )2 +

【解析】分析：（1）由拋物線的性質(zhì)，直接得到頂點坐標．令y=0，即可求得A點坐標．

（2）設(shè)對稱軸交CD于M，交x軸于F，得到C(0，－3a)．由對稱軸為直線x=1，得到D（－2，－3a），由△DCE的面積=，得到ME的長，即可得到E的坐標，易求直線BD的解析式為：．由E為直線BD與對稱軸的交點，即可得到a的值．

（3）作DH⊥x軸于H．顯然，∠CBE為銳角，所以∠CBE90°．分兩種情況討論：

①若∠BEC＝90°，②若∠BCE＝90°。

詳解：（1）拋物線y＝a（ x＋1 ）2－4a（a＜0）的頂點坐標是（-1，-4a）．令y=0，得：a（ x＋1 ）2－4a=0，解得：x=－3，或x=1，∴A點坐標為（-3，0）．

（2）設(shè)對稱軸交CD于M，交x軸于F．令x=0，得：y=a-4a=－3a，∴C(0，－3a)．∵對稱軸為直線x=1，∴D（－2，－3a），∴DC=2．∵△DCE的面積=，∴DCME=，∴ME=，∴E（－1，），易求直線BD的解析式為：．∵E為直線BD與對稱軸的交點，∴當x=－1時，y=－2a，∴－2a=，解得：a=．

（3）作DH⊥x軸于H．

顯然，∠CBE為銳角，所以∠CBE90°．

①若∠BEC＝90°，則∠DEC＝90°．

∵CD∥x軸，∴由對稱性可知∠CEM＝∠DEM＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠BDH＝45°，∴BH＝DH．

∵y＝a（ x＋1 ）2－4a，∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3a），拋物線的對稱軸為直線x＝－1，∴D（－2，－3a），∴BH＝3，DH＝－3a，∴a＝－1∴y＝-（ x＋1 ）2+4；

②若∠BCE＝90°，作BN⊥DC交DC的延長線于N，則∠BCN＋∠ECM＝∠BCN＋∠EDM＝∠BDH＋∠EDM＝90°，∴∠BCN＝∠BDH，∴Rt△BCN∽Rt△BDH，∴BN：CN=BH：DH ，∴－3a：1=3：－3a，∴a＝，∴ y＝（ x＋1 ）2 ．

綜上所述：y＝-（ x＋1 ）2+4或．