Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）
（2）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作QF⊥AC于點F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數解析式；
（2）當DE∥QB時，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對應比例關系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對應比例關系求t．

解答：解：（1）作QF⊥AC于點F，如圖1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴在點P從C向A運動的過程中，△APQ的面積S=

1

2

（3-t）•

4

5

t；
（2）能．
①當由△APQ∽△ABC，DE∥QB時，如圖2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得 t=

9

8

；
②如圖3，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得 t=

15

8

．

點評：本題考查了相似三角形的判定定理，線段比的有關知識，利用二次函數的相關知識以及實際應用相結合，同時考生要注意巧妙利用輔助線的幫助解答，難度較大．