Question

【題目】已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，動點E在邊AB上（點E不與點A，B重合）, 動點F在射線AC上，連結DE, DF.

(1)如圖1，當∠DEB=∠DFC=90°時，直接寫出DE與DF的數量關系;

(2)如圖2，當∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)時，猜想DE與DF的數量關系，并證明；

(3)當點E,D,F在同一條直線上時，

①依題意補全圖3；

②在點E運動的過程中，是否存在EB=FC？ （ 填“存在”或“不存在” ）.

Answer 1

【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF；證明見解析；（3）①見解析，②不存在

【解析】

（1）證明△BED≌△CFD，利用全等三角形的對應邊相等即可得出結論；

（2）連接AD，作DG⊥AB于點G，DH⊥AC于點H，根據同角的補角相等，得出∠GED=∠DFC，根據等腰三角形三線合一的性質得到∠BAD=∠CAD，再根據角平分線的性質得出DG=DH，即可證明△EGD≌△FHD，從而得出結論；

（3）①根據題意補全圖形即可；

②假設BE=CF．過E作EG∥AC交BC于G．證明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，進而得到G與B重合．由BE與AC相交于點A，與EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，從而得到結論．

（1）DE與DF的數量關系是DE=DF．理由如下：

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵D是BC的中點，∴BD=CD．

在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF．

（2）猜想：DE與DF的數量關系是DE=DF．理由如下：

連接AD，作DG⊥AB于點G，DH⊥AC于點H，

∴∠EGD=∠FHD=90°．

∵∠DEB+∠GED=180°，

∠DEB+∠DFC=180°，

∴∠GED=∠DFC．

∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠BAD=∠CAD．

∵DG⊥AB，DH⊥AC，

∴DG=DH．

在△EGD和△FHD中，

∵，

∴△EGD≌△FHD，

∴DE=DF．

（3）①作圖如下：

②不存在．理由如下：

假設BE=CF．過E作EG∥AC交BC于G．

∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EGB，

∴BE=EG．

∵BE=CF，

∴EG=CF．

在△EGD和△FCD中，

∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，

∴△EGD≌△FCD，

∴GD=CD．

∵BD=CD，

∴BD=GD，

∴G與B重合．

∵BE與AC相交于點A，與EG∥AC矛盾，

∴BE=CF不成立，

∴在點E運動的過程中，不存在EB=FC．