Question

【題目】如圖，□ABCD中，對角線AC與AB、AD的夾角分別為α、β，點E是AC上任意一點，給出如下結論：①AB sinα=AD sinβ；②S△ABE=S△ADE；③ADsinα=AB sinβ． 其中正確的個數有（　　）

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：

如下圖，（1）過點D作DN⊥AC于點N，過點B作BM⊥AC于點M，由此可得DN=AD·sinβ，BM=AB·sinα，由已知條件易證△ABC≌△CDA，從而可得S△ABC=ACAB·sinα=ACAD·sinβ，由此可得AB· sinα=AD· sinβ，即結論①成立；（2）由S△ABE=AEABsinα，S△ADE=AEAdsinβ結合（1）中所得AB·sinα=AD·sinβ即可得到S△ABE=S△ADE，故結論②成立；（3）由已知條件易證△ADN≌△CBM，由此可得DN=BM，即AD·sinβ=AB·sinα，AD·sinα=AB·，由此可知只有當=時，才有ADsinα=ABsinβ成立，故結論③不一定成立；

詳解：

由題意，可知∠CAB=α，∠DAC=β，如下圖，過點D作DN⊥AC于點N，過點B作BM⊥AC于點M，

∴DN=AD·sinβ，BM=AB·sinα，

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD．

在△ABC與△CDA中， ，

∴△ABC≌△CDA，

∴S△ABC=S△CDA，

∵S△ABC=ACABsinα，S△CDA=ACADsinβ，

∴AB·sinα=AD·sinβ，①正確；

（2）∵S△ABE=AEABsinα，S△ADE=AEADsinβ，且AB·sinα=AD·sinβ，

∴S△ABE=S△ADE，②正確；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAN=∠BCM，

又∵∠DNA=∠BMC=90°，

∴△ADN≌△CBM，

∴DN=BM，

∴AD·sinβ=AB·sinα，

∴AD·sinα=AB·，

由此可知只有當=時，才有ADsinα=AB sinβ成立，故結論③不一定成立；

綜上所述，3個結論中，只有①②成立.

故選C．