Question

【題目】如圖1．在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點(diǎn)G、H分別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點(diǎn)I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好為正方形．

（1）求正方形DFGI的邊長(zhǎng)；

（2）如圖2，延長(zhǎng)AB至P．使得AC＝CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時(shí)，試判斷移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？

（3）如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線(xiàn)段DG、DB相交于點(diǎn)M、N，求△MNG′的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．

【解析】

(1)由HI∥AD，得到，求出AD即可解決問(wèn)題；

(2)如圖2中，設(shè)點(diǎn)G落在PC時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為G′，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為F′．求出IG′和BD的長(zhǎng)比較即可判定；

(3)如圖3中，如圖將△DMI′繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF′R，此時(shí)N、F′、R共線(xiàn)．想辦法證明MN=MI′+NF′，即可解決問(wèn)題.

(1)∵HI∥AD，

∴，

∴，

∴AD＝6，

∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的邊長(zhǎng)為2；

(2)三角形，理由如下：

如圖2中，設(shè)點(diǎn)G落在PC時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為G′，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為F′．

∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，

∵HG′∥PA，

∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，

∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，

∴IH＝IG′＝DF′＝3，

∵IG∥DB，∴，

∴，∴DB＝3，

∴DB＝DF′＝3，∴點(diǎn)B與點(diǎn)F′重合，

∴移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′，

∴移動(dòng)后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形；

(3)如圖3中，如圖將△DMI′繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF′R，此時(shí)N、F′、R共線(xiàn)．

∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，

∵DN＝DN，DM＝DR，

∴△NDM≌△NDR，

∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，

∴△MNG′的周長(zhǎng)＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．