Question

【題目】如圖，在ABDC中，分別取AC、BD的中點(diǎn)E和F，連接BE、CF，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）當(dāng)∠P滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，

∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，

∴AE=DF，

在△ABE和△DCF中， ，

∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）解：∠P=90°時(shí)，四邊形BECF是菱形．理由如下：

在ABCD中，AB∥CD，

∵AP∥BC，

∴四邊形ABCP是平行四邊形，

∴∠ABC=∠P=90°，

∵E是AC的中點(diǎn)，

∴BE=CE= AC，

∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，

∴BF=CE，

又∵AC∥BD，

∴四邊形BECF是平行四邊形，

∴四邊形BECF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠BAC=∠D，對(duì)邊相等可得AB=CD，AC=BD，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出AE=DF，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）∠P=90°時(shí)，四邊形BECF是菱形．先判斷出四邊形ABCP是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠ABC=∠P，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=CE，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BECF是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形才能正確解答此題．