Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3經過點A（2，﹣3），與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D在y軸上，且∠BDO=∠BAC，求點D的坐標；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）（3）存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）

【解析】試題分析：（1）待定系數法求解析式.(2) 連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，∠BAC=45°，利用特殊三角形求D點坐標.(3)分類討論 以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸于E，AF⊥x軸于F，求出M點坐標，以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，求出M點坐標.

試題解析：

（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），

∴OC=3，

∵OC=3OB，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），

把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得,

∴,

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）設連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，

∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），

∴AF∥x軸，

∴F（﹣1，﹣3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°，

設D（0，m），則OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°，

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±1，

∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；

（3）設M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸于E，AF⊥x軸于F，

則△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a﹣1|=3，

∴a=4或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，5）；

②以AB為對角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，

則N在x軸上，M與C重合，

∴M（0，﹣3），

綜上所述，存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．