Question

【題目】如圖，在等邊△ABC內有一點D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點逆時針旋轉，使AB與AC重合，點D旋轉至點E，求∠CDE的余弦值．

Answer 1

【答案】∠CDE的余弦值為．

【解析】

試題分析：先根據等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判斷△ADE為等邊三角形，得到DE=AD=5；過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，然后根據余弦的定義求解．

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD繞A點逆時針旋轉得△ACE，

∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE為等邊三角形，

∴DE=AD=5，

過E點作EH⊥CD于H，如圖，設DH=x，則CH=4﹣x，

在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，

在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴DH=，

在Rt△EDH中，cos∠HDE===，

即∠CDE的余弦值為．