Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上一點，F是AD延長線上一點，BE＝DF.

(1)求證：CE＝CF；

(2)若點G在AD邊上，且∠GCE＝45°，BE＝3，DG＝5，求GE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)8.

【解析】（1）根據正方形性質，由(SAS)證△CBE≌△CDF，可得CE＝CF；

（2）由（1）△CBE≌△CDF，得∠BCE＝∠DCF，故∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，因此，∠ECF＝∠BCD＝90°，再證∠GCF＝∠ECF－∠GCE＝45°＝∠GCE，可證得△ECG≌△FCG，所以GE＝GF＝DG＋DF＝DG＋BE.

(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠B＝∠FDC＝90°.

在△CBE和△CDF中，

EB=DF，∠B＝∠FDC，BC＝DC，

∴△CBE≌△CDF(SAS)，

∴CE＝CF；

(2)解：由(1)得△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF，

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°.

又∵∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠ECF－∠GCE＝45°＝∠GCE.

∵在△ECG與△FCG中，

CE=CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG(SAS)，

∴GE＝GF＝DG＋DF＝DG＋BE＝3＋5＝8.