Question

【題目】如圖，拋物線 經過點 ，交y 軸于點C：

（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）．
（2）點 為 軸右側拋物線上一點，是否存在點 使 ，若存在請直接給出點 坐標；若不存在請說明理由．
（3）將直線 繞點 順時針旋轉 ，與拋物線交于另一點 ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題可得：

解得：

∴y=-x2+x+2.

（2）

解：依題可得：AB=5,OC=2,

∴S△ABC=AB×OC=×2×5=5.

∵S△ABC=S△ABD.

∴S△ABD=×5=.

設D（m,-m2+m+2）（m＞0）.

∵S△ABD=AB|yD|=.|

×5×|-m2+m+2|=.

∴m=1或m=2或m=-2（舍去）或m=5

∴D1（1，3），D2（2，3）,D3（5，-3）.

（3）

解：過C作CF⊥BC交BE于點F；過點F作FH⊥y軸于點H.

∵∠CBF=45°,∠BCF=90°.

∴CF=CB.

∵∠BCF=90°,∠FHC=90°.

∴∠HCF+∠BCO=90°,∠HCF+∠HFC=90°

∴∠HFC=∠OCB.
∵
∴△CHF≌△BOC（AAS）.

∴HF=OC=2,HC=BO=4,

∴F（2，6）.

設直線BE解析式為y=kx+b.

∴

解得

∴直線BE解析式為:y=-3x+12.

∴

解得：x1=5,x2=4（舍去）

∴E（5，-3）.

BE==.

【解析】（1）用待定系數法求二次函數解析式.
（2）依題可得：AB=5,OC=2,求出S△ABC=AB×OC=×2×5=5；根據S△ABC=S△ABD；求出S△ABD=×5=.
設D（m,-m2+m+2）（m＞0）.根據三角形的面積公式得到一個關于m的方程，求解即可.
（3）過C作CF⊥BC交BE于點F；過點F作FH⊥y軸于點H;根據同角的余角相等得到∠HFC=∠OCB；再根據條件得到△CHF≌△BOC（AAS）；利用其性質可求出HF=OC=2,HC=BO=4,從而得到F（2，6）；用待定系數法求直線BE解析式；再把拋物線解析式和直線BE解析式聯立得到方程組求E點坐標，再根據勾股定理求出BE長.
【考點精析】本題主要考查了因式分解法和確定一次函數的表達式的相關知識點，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法才能正確解答此題．