Question

已知平行四邊形，．點為線段上一點（端點除外），連結，連結，并延長交的延長線于點，連結．
（1）當為的中點時，求證與的面積相等；
（2）當為上任意一點時，與的面積還相等嗎？說明理由．

Answer 1

（1）證明：點為的中點，，
又，
，
兩點到的距離相等，為，
則，
，
．
（2）解：法一：當為上任意一點時，設，則，
四邊形是平行四邊形，
，
，
在中，邊上的高，
　　，
　　，
又在中，邊上的高，
，
．
法二：為平行四邊形，
，
又，
，
即．

（1）S_△EFC=FC•高h，S_△ABF=BF•高h′，而△EFC與△ABF的面積相等且當F為BC的中點，所以必須證明h=h′，而h=ABsinα，h′=EBsinα，所以證明方向轉化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；
（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因為△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．