Question

【題目】如圖，中，的垂直平分線分別交于點，交于點，連接，，，的面積為54，則線段的長為__________．

Answer 1

【答案】6

【解析】

過C點作CN⊥AB的延長線于N，過B點作BM⊥AC于M，根據DE垂直平分AC，從而證出，再根據，從而證出，證出MC=NC，設AB=x，DM=y，則CN=x+y，然后根據，得到AB：AC=AM：AN，繼而得出AN=2(x-y)，在Rt中，根據勾股定理得出x和y的關系，再根據的面積為54，所以有的面積也為54，所以，從而求出x、y的值，再根據BD2=x2-(x-y)2+y2，即可求出答案.

過C點作CN⊥AB的延長線于N，過B點作BM⊥AC于M.

∵DE垂直平分AC
∴BM//DE

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

∵BM⊥AC，CN⊥AB

∴MC=CN

設AB=x，DM=y

∵AB=AD, DE垂直平分AC

∴AD=CD=x，CN=x+y

∵的面積為54

∴的面積也為54

∴

∵，

∴

∴AB：AC=AM：AN=1: 2

∴AN=2AM=2(x-y)

在Rt中，根據勾股定理可得，(x+y)2+[2(x+y)]2=(2x)2

解得，x=5y或x=y（不合題意舍去）

∵

∴xy=36

在Rt中，BM2=x2—(x-y)2

在Rt中，BD2=x2-(x-y)2+y2=2xy

∴BD2=72，

∴BD=6

故答案為：6