Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經過點（1，-5）和（-2，4）
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設此拋物線與直線y=x相交于點A，B（點B在點A的右側），平行于y軸的直線x=m（0＜m＜

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+1）與拋物線交于點M，與直線y=x交于點N，交x軸于點P，求線段MN的長（用含m的代數式表示）；
（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，將A，B的坐標代入解析式即可求得二次函數的解析式；
（2）因為點B是y=x與y=x²-2x-4的交點，根據題意可求得N，M的坐標，則可表示出MN的長，通過縱坐標的絕對值的和求得；
（3）把△BOM分成兩個△OMN與△BMN，把MN作為兩個三角形的底，通過點B，P的縱坐標表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．

解答：解：（1）由題意把點（1，-5）、（-2，4）代入y=x²+bx+c得：

b+c=-6 -2b+c=0

，
解得b=-2，c=-4，（3分）
∴此拋物線解析式為：y=x²-2x-4；

（2）由題意得：

y=x y=x2-2x-4

，
∴x²-3x-4=0，
解得：x=4或x=-1（舍），
∴點B的坐標為（4，4），
將x=m代入y=x條件得y=m，
∴點N的坐標為（m，m），
同理點M的坐標為（m，m²-2m-4），點P的坐標為（m，0），
∴PN=|m|，MP=|m²-2m-4|，
∵0＜m＜

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+1，
∴MN=PN+MP=-m²+3m+4；

（3）作BC⊥MN于點C，
則BC=4-m，OP=m，
S=

1

2

MN•OP+

1

2

MN•BC，
=2（-m²+3m+4），
=-2（m-

3

2

）²+12

1

2

，（11分）
∵-2＜0，
∴當m-

3

2

=0，則m=

3

2

時，S有最大值．

點評：此題考查了待定系數法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個三角形求解；
還要注意求最大值可以借助于二次函數．