Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E．

（1）求證：△ABD≌△CAE；
（2）連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACD，

∴∠B=∠EAC，

∵AD是BC邊上的中線，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AE，

∴∠ADC=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

（2）證明：AB=DE，AB∥DE，如右圖所示，

∵AD⊥BC，AE∥BC，

∴AD⊥AE，

又∵CE⊥AE，

∴四邊形ADCE是矩形，

∴AC=DE，

∵AB=AC，

∴AB=DE．

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵四邊形ADCE是矩形，

∴AE∥CD，AE=DC，

∴AE∥BD，AE=BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB∥DE且AB=DE．

【解析】（1）運用AAS證明△ABD≌△CAE；（2）易證四邊形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可證四邊形ABDE是平行四邊形得到AB=DE．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．