Question

【題目】拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸于B、C兩點，且B的坐標為（﹣2，0）直線y=mx+n過點B和拋物線上另一點A（4，3）
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）若點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，過P作PQ∥x軸，且PQ=4（點Q在P點右側）．以PQ為一邊作矩形PQEF，且點E在直線AB上．求矩形PQEF的最大值．并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，在（2）的結論下，連接AP、BP，設QE交于x軸于點D，現即將矩形PQEF沿射線DB以每秒1個單位長度的速度平移，當點D到達點B時停止，記平移時間為t，平移后的矩形PQEF為P′Q′E′F′，且Q′E′分別交直線AB、x軸于N、D′，設矩形P′Q′E′F′與△ABP的重疊部分面積為s，當NA= ND′時，求s的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B的坐標為（﹣2，0）直線y=mx+n過點B和拋物線上另一點A（4，3），

∴ ，

∴ ，

∴直線解析式為y= x+1，

∵拋物線過點A，B，

∴ ，

∴ ，

∴y= x2﹣ x﹣3

（2）

解：由矩形的周長為2（PQ+EQ）=8+2EQ，要使周長最大，EQ最大即可，

設P（a， a2﹣ a﹣3），

∴Q（a+4， a2﹣ a﹣3），E（a+4， a+3），

∴EQ= a+3﹣（ a2﹣ a﹣3）=﹣ （a﹣1）2+ ，

∴當a=1時，EQ最大，P（1，﹣3）

（3）

解：如圖2，

①N在線段AE上時，有DD′=t，oD′=5﹣t，D′（5﹣t，0），N（5﹣t，﹣ t+ ），

過點A作AH⊥ND′，

∴AH∥x軸，

∴NH=﹣ t+ ﹣3=﹣ t+ ，

∴M（0，1）

∴OM=1，

∴BM= ，

∴sin∠MBO= ，

∵AH∥x軸，

∴∠NAH=∠MBO，

∴sin∠MBO= ，

∴ ，

∴NA= （﹣ t+ ）

由NA= ND′，

∴ （﹣ t+ ）= （﹣ t+ ），

∴t= ，

∵BP的解析式為y=﹣x﹣2，

xJ= ，yJ=﹣ ，

∴J（ ，﹣ ），

∵Q（ ， ），

∴QJ= ，

同理：IP= ，

∴S=S梯形+S△IDA= ，

②N在AB上時，同①的方法一樣，得到MQ=2，NK=1，

S=S梯形MQPI+S梯形PKNI= ×（2+ ）× + （1+ ）×（ ﹣1）=

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線和直線的解析式，（2）先確定出要使周長最大，EQ最大即可，求出EQ函數關系式即可；（3）①N在線段AE上時QJ= ，IP= ，再求出面積S=S梯形+S△IDA ， ②N在AB上時，MQ=2，NK=1在計算面積即可S=S梯形MQPI+S梯形PKNI
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．